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1、當(dāng)外力作用在靜止質(zhì)量為m0的自由質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)歷位移ds，其動(dòng)能的增量是dEk=F·ds，如果外力與位移同方向，則上式成為dEk=Fds，設(shè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間為dt，則質(zhì)點(diǎn)在外力沖量Fdt作用下，其動(dòng)量增量是dp=Fdt，考慮到v=ds/dt，有上兩式相除，即得質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式為v=dEk/dp，亦即 dEk=vd(mv)=V^2dm+mvdv，把愛因斯坦的質(zhì)量隨物體速度改變的那個(gè)公式平方，得m^2(c^2-v^2)=m02c^2,對(duì)它微分求出：mvdv=(c^2-v^2)dm，代入上式得dEk=c^2dm。

2、上式說明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度v增大時(shí)，其質(zhì)量m和動(dòng)能Ek都在增加，質(zhì)量的增量dm和動(dòng)能的增量dEk之間始終保持dEk=c^2dm所示的量值上的正比關(guān)系。

3、當(dāng)v=0時(shí)，質(zhì)量m=m0，動(dòng)能Ek=0，據(jù)此，將上式積分，即得∫Ek0dEk=∫m0m c^2dm（從m0積到m）Ek=mc^2-m0c^2 上式是相對(duì)論中的動(dòng)能表達(dá)式。

4、愛因斯坦在這里引入了經(jīng)典力學(xué)中從未有過的獨(dú)特見解，他把m0c^2叫做物體的靜止能量，把mc^2叫做運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量，我們分別用E0和E表示：E=mc^2 , E0=m0c^2用微積分來推導(dǎo)是: 質(zhì)量（m）和能量（E）的轉(zhuǎn)換關(guān)系 E=m*c~2的推導(dǎo)：（~代表后面的幾次方、△代表變化量） m=m0/(1-v~2/c~2)~(1/2) 因?yàn)関/c->0 有(1-v~2/c~2)等價(jià)1-(v~2/c~2)*(1/2) m0=m*[1-(v~2/c~2)*(1/2)] m0=m-m*(v~2/c~2)*(1/2) m-m0=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m=m*(v~2/c~2)*(1/2) △m*c~2=(1/2)*m*(v~2)=E E=△m*c~2，這是在初速度為0的情況下的推導(dǎo)，在初速度不為0的情況下推導(dǎo)。

5、得到 △m*c~2=E’- E=△E =>E=Mc~2 還有用微積分的另一種推導(dǎo)方法： m=m./sqrt(1-v。

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