您好,現(xiàn)在冰冰來為大家解答以上的問題。什么是完全平方數(shù)，什么是完全平方數(shù)相信很多小伙伴還不知道,現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！
1、（一）完全平方數(shù)的性質(zhì) 一個數(shù)如果是另一個整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。
2、例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,… 觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對它們的個位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認識。
3、下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)： 性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。
4、 性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。
5、 證明 奇數(shù)必為下列五種形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分別平方后，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。
6、 性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。
7、 證明 已知m^2=10k+6，證明k為奇數(shù)。
8、因為的個位數(shù)為6，所以m的個位數(shù)為4或6，于是可設m=10n+4或10n+6。
9、則 10k+6=(10n+4)^2=100+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)^2=100+(12n+3)x10+6 即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1 或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3 ∴ k為奇數(shù)。
10、 推論1：如果一個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個位數(shù)字不是6，那么這個數(shù)一定不是完全平方數(shù)。
11、 推論2：如果一個完全平方數(shù)的個位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。
12、 性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。
13、 這是因為 (2k+1)=4k(k+1)+1 (2k)=4 性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。
14、 在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。
15、 性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。
16、 因為自然數(shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。
17、平方后，分別得 (3m)=9=3k (3m+1)=9+6m+1=3k+1 (3m+2)=9+12m+4=3k+1 同理可以得到： 性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。
18、 性質(zhì)8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。
19、 除了上面關于個位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。
20、例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。
21、如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。
22、下面我們提到的一個數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。
23、我們可以得到下面的命題： 一個數(shù)的數(shù)字和等于這個數(shù)被9除的余數(shù)。
24、 下面以四位數(shù)為例來說明這個命題。
25、 設四位數(shù)為，則 = 1000a+100b+10c+d = 999a+99b+9c+(a+b+c+d) = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。
26、 對於n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。
27、 關於完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)： 性質(zhì)9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。
28、 證明 因為一個整數(shù)被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而 (9k)=9(9)+0 (9k±1)=9(9±2k)+1 (9k±2)=9(9±4k)+4 (9k±3)=9(9±6k)+9 (9k±4)=9(9±8k+1)+7 除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)： 性質(zhì)10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。
29、 證明 充分性：設b為平方數(shù)，則 ==(ac) 必要性：若為完全平方數(shù)，=，則 性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。
30、 證明 由題設可知，a有質(zhì)因數(shù)p，但無因數(shù)，可知a分解成標準式時，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標準式時，各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。
31、 性質(zhì)12：在兩個相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若 n^2 < k^2 < (n+1)^2 則k一定不是整數(shù)。
32、 性質(zhì)13：一個正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個因數(shù)(包括1和n本身)。
33、 (二)重要結(jié)論 1.個位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 2.個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 3.個位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 5.形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)； 8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。
34、 (三)范例 [例1]：一個自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。
35、 解：設此自然數(shù)為x，依題意可得 x-45=m^2; (1) x+44=n^2 (2) (m,n為自然數(shù)) (2)-(1)可得 : n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89 因為n+m>n-m 又因為89為質(zhì)數(shù)， 所以：n+m=89; n-m=1 解之，得n=45。
36、代入(2)得。
37、故所求的自然數(shù)是1981。
38、 [例2]：求證：四個連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學競賽題)。
39、 分析 設四個連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。
40、欲證 是一奇數(shù)的平方，只需將它通過因式分解而變成一個奇數(shù)的平方即可。
41、 證明 設這四個整數(shù)之積加上1為m，則 m為平方數(shù) 而n(n+1)是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因為2n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。
42、這就證明了m是一個奇數(shù)的平方。
43、 [例3]：求證：11,111,1111,這串數(shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學競賽題)。
44、 分析 形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即 或 在兩端同時減去1之后即可推出矛盾。
45、 證明 若，則 因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。
46、 若，則 因為左端為奇數(shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。
47、 綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。
48、 另證 由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。
49、但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)。
50、 [例4]：試證數(shù)列49,4489,444889, 的每一項都是完全平方數(shù)。
51、 證明 = =++1 =4+8+1 =4()(9+1)+8+1 =36 ()+12+1 =(6+1) 即為完全平方數(shù)。
52、 [例5]：用300個2和若干個0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？ 解：設由300個2和若干個0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為600 3｜600 ∴3｜A 此數(shù)有3的因數(shù)，故9｜A。
53、但9｜600，∴矛盾。
54、故不可能有完全平方數(shù)。
55、 [例6]：試求一個四位數(shù)，它是一個完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學數(shù)學世界邀請賽試題)。
56、 解：設此數(shù)為 此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。
57、因此11｜a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。
58、 直接驗算，可知此數(shù)為7744=88。
59、 [例7]：求滿足下列條件的所有自然數(shù)： (1)它是四位數(shù)。
60、 (2)被22除余數(shù)為5。
61、 (3)它是完全平方數(shù)。
62、 解：設，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。
63、 11｜N - 4或11｜N + 4 或 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 所以此自然數(shù)為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
64、 [例8]：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價又恰為n元（n為整數(shù)），全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。
65、為了平均分配，甲應該補給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學邀請賽試題)？ 解：n頭羊的總價為元，由題意知元中含有奇數(shù)個10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。
66、如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6。
67、所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應補給乙2元。
68、 [例9]：矩形四邊的長度都是小于10的整數(shù)(單位：公分)，這四個長度數(shù)可構(gòu)成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個完全平方數(shù)，求這個矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學競賽題)。
69、 解：設矩形的邊長為x,y，則四位數(shù) ∵N是完全平方數(shù)，11為質(zhì)數(shù) ∴x+y能被11整除。
70、 又 ,得x+y=11。
71、 ∴∴9x+1是一個完全平方數(shù)，而，驗算知x=7滿足條件。
72、又由x+y=11得。
73、 [例10]：求一個四位數(shù)，使它等于它的四個數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。
74、 解：設符合題意的四位數(shù)為，則，∴為五位數(shù)，為三位數(shù)，∴。
75、經(jīng)計算得，其中符合題意的只有2401一個。
76、 [例11]：求自然數(shù)n，使的值是由數(shù)字0,2,3,4,4,7,8,8,9組成。
77、 解：顯然，。
78、為了便于估計，我們把的變化范圍放大到，於是，即。
79、∵，∴。
80、 另一方面，因已知九個數(shù)碼之和是3的倍數(shù)，故及n都是3的倍數(shù)。
81、這樣，n只有24,27,30三種可能。
82、但30結(jié)尾有六個0，故30不合要求。
83、經(jīng)計算得 故所求的自然數(shù)n = 27。
84、 (四)討論題 1.(1986年第27屆IMO試題) 設正整數(shù)d不等于2,5,13，求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方數(shù)。
85、 2.求k的最大值，使得可以表示為k個連續(xù)正整數(shù)之和。
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