您好,現(xiàn)在蔡蔡來(lái)為大家解答以上的問(wèn)題。三角形面積公式海倫公式，三角形面積公式海倫公式相信很多小伙伴還不知道,現(xiàn)在讓我們一起來(lái)看看吧！

1、證明一與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來(lái)證明。

2、設(shè)三角形的三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]證明二中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了"三斜求積術(shù)"。

3、它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式"底乘高的一半"，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來(lái)并非易事。

4、所以他們想到了三角形的三條邊。

5、如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。

6、但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積?直到南宋，中國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了"三斜求積術(shù)"。

7、秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。

8、"術(shù)"即方法。

9、三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。

10、相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為"實(shí)"，作1作為"隅"，開(kāi)平方后即得面積。

11、所謂"實(shí)"、"隅"指的是，在方程px 2=q,p為"隅"，q為"實(shí)"。

12、以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}當(dāng)P=1時(shí)，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}因式分解得△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得:S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為"海倫-秦九韶公式"。

13、S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。

14、如下題:已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣S圓內(nèi)接四邊形= 根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d，為4邊)代入解得s=8√ 3證明三在△ABC中∠A、∠B、∠C對(duì)應(yīng)邊a、b、cO為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng)有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)證明四通過(guò)正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明 (具體可以參考證明方法1)資料拓展海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說(shuō)是古代的敘拉古國(guó)王希倫 （Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求取三角形面積。

15、但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證)。

16、參考資料海倫公式的百度百科。

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