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1、證明:由于偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)M(x,y)連續(xù),0<θ,θ<1,α=0,?△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]?=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y?=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y?=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y?而||≤|α|+|β|,?所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在點(diǎn)M可微。

2、設(shè)函數(shù)y=?f(x)，若自變量在點(diǎn)x的改變量Δx與函數(shù)相應(yīng)的改變量Δy有關(guān)系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x可微，并稱AΔx為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當(dāng)x=?x0時(shí)，則記作dy∣x=x0。

3、可微條件必要條件若函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)；若二元函數(shù)在某點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在該點(diǎn)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)必存在。

4、2、充分條件若函數(shù)對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)在這點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)都存在，且均在這點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在這點(diǎn)可微。

5、擴(kuò)展資料函數(shù)可導(dǎo)的條件：函數(shù)在該點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，不能證明這點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在。

6、只有左右導(dǎo)數(shù)存在且相等，并且在該點(diǎn)連續(xù)，才能證明該點(diǎn)可導(dǎo)。

7、可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

8、一元函數(shù)：可導(dǎo)必然連續(xù),連續(xù)推不出可導(dǎo),可導(dǎo)與可微等價(jià)。

9、多元函數(shù)：可偏導(dǎo)與連續(xù)之間沒有聯(lián)系,也就是說可偏導(dǎo)推不出連續(xù),連續(xù)推不出可偏導(dǎo)。

10、多元函數(shù)中可微必可偏導(dǎo),可微必連續(xù),可偏導(dǎo)推不出可微,但若一階偏導(dǎo)具有連續(xù)性則可推出可微。

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