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1、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是無理數(shù)的誕生,發(fā)現(xiàn)根號(hào)2不能寫成兩個(gè)整數(shù)相除,最終無理數(shù)被納入了實(shí)數(shù)范圍。

2、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)源于微積分工具的使用,由于定義不嚴(yán)格,無窮小量這些概念引起爭(zhēng)論,最終建立了實(shí)數(shù)理論,極限理論,使得數(shù)學(xué)分析有了嚴(yán)格基礎(chǔ)。

3、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是關(guān)于集合論,即著名的羅素悖論,集合的定義受到了攻擊.最終通過不同的公理化系統(tǒng)解決,使數(shù)理邏輯等學(xué)科得到發(fā)展。

4、歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī),給人們帶來了極大的麻煩,危機(jī)的產(chǎn)生使人們認(rèn)識(shí)到了現(xiàn)有理論的缺陷,科學(xué)中悖論的產(chǎn)生常常預(yù)示著人類的認(rèn)識(shí)將進(jìn)入一個(gè)新階段,所以悖論是科學(xué)發(fā)展的產(chǎn)物,又是科學(xué)發(fā)展源泉之一.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)無理數(shù),建立了完整的實(shí)數(shù)理論,歐氏幾何也應(yīng)運(yùn)而生并建立了幾何公理體系；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn),直接導(dǎo)致了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論的產(chǎn)生和完善,使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上；第三次數(shù)學(xué)危機(jī),使集合論成為一個(gè)完整的集合論公理體系（ZFC系統(tǒng)）,促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性.。

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