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1、用代數(shù)的方法研究幾何的思想，在繼出現(xiàn)解析幾何之后，又發(fā)展為幾何學(xué)的另一個分支，這就是代數(shù)幾何。

2、代數(shù)幾何學(xué)研究的對象是平面的代數(shù)曲線、空間的代數(shù)曲線和代數(shù)曲面。

3、代數(shù)幾何學(xué)的興起，主要是源于求解一般的多項(xiàng)式方程組，開展了由這種方程組的解答所構(gòu)成的空間，也就是所謂代數(shù)簇的研究。

4、解析幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)是引進(jìn)了坐標(biāo)系來表示點(diǎn)的位置，同樣，對于任何一種代數(shù)簇也可以引進(jìn)坐標(biāo)，因此，坐標(biāo)法就成為研究代數(shù)幾何學(xué)的一個有力的工具。

5、代數(shù)幾何的研究是從19世紀(jì)上半葉關(guān)于三次或更高次的平面曲線的研究開始的。

6、例如，阿貝爾在關(guān)于橢圓積分的研究中，發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎(chǔ)。

7、黎曼1857年引入并發(fā)展了代數(shù)函數(shù)論，從而使代數(shù)曲線的研究獲得了一個關(guān)鍵性的突破。

8、黎曼把他的函數(shù)定義在復(fù)數(shù)平面的某種多層復(fù)迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。

9、運(yùn)用這個概念，黎曼定義了代數(shù)曲線的一個最重要的數(shù)值不變量：虧格。

10、[1] 這也是代數(shù)幾何歷史上出現(xiàn)的第一個絕對不變量。

11、并首次考慮了虧格g 相同的所有黎曼曲面的雙有理等價類的參量簇問題，并且發(fā)現(xiàn)這個參量簇的維數(shù)應(yīng)該是3g-3，雖然黎曼沒有能嚴(yán)格證明它的存在性。

12、在黎曼之后，德國數(shù)學(xué)家諾特等人用幾何方法獲得了代數(shù)曲線的許多深刻的性質(zhì)。

13、諾特還對代數(shù)曲面的性質(zhì)進(jìn)行了研究。

14、他的成果給以后意大利學(xué)派的工作建立了基礎(chǔ)。

15、從19世紀(jì)末開始，出現(xiàn)了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的意大利學(xué)派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學(xué)派。

16、他們對復(fù)數(shù)域上的低維代數(shù)簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認(rèn)為是代數(shù)幾何中最漂亮的理論之一的代數(shù)曲面分類理論。

17、但是由于早期的代數(shù)幾何研究缺乏一個嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補(bǔ)。

18、20世紀(jì)以來代數(shù)幾何最重要的進(jìn)展之一是它在最一般情形下的理論基礎(chǔ)的建立。

19、20世紀(jì)30年代，扎里斯基和范·德·瓦爾登等首先在代數(shù)幾何研究中引進(jìn)了交換代數(shù)的方法。

20、在此基礎(chǔ)上，韋伊在40年代利用抽象代數(shù)的方法建立了抽象域上的代數(shù)幾何理論，然后20世紀(jì)50年代中期，法國數(shù)學(xué)家塞爾把代數(shù)簇的理論建立在層的概念上，并建立了凝聚層的上同調(diào)理論，這個為格羅騰迪克隨后建立概型理論奠定了基礎(chǔ)，他在討論班的講義《代數(shù)幾何基礎(chǔ)》（EGA,SGA,FGA）成為該領(lǐng)域的圣經(jīng)。

21、概型理論的建立使代數(shù)幾何的研究進(jìn)入了一個全新的階段。

22、概型的概念是代數(shù)簇的推廣，它允許點(diǎn)的坐標(biāo)在任意有單位元的交換環(huán)中選取，并允許結(jié)構(gòu)層中存在冪零元。

23、近年來，人們在現(xiàn)代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛應(yīng)用代數(shù)幾何工具，這預(yù)示著抽象的代數(shù)幾何學(xué)將對現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮重要的作用。

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