2021年12月29 -31日，由中國科學(xué)院科學(xué)傳播局主辦，中國科學(xué)院物理研究所、Tik Tok承辦的“復(fù)興路上的科學(xué)力量——中國科學(xué)院2022新年科學(xué)講座”在京舉行。
12月31日晚19:30，中科院物理所曹則賢研究員做了一場“從一元二次方程到規(guī)范場論”的講座。中央電視臺創(chuàng)意媒體藝術(shù)部副主任王雪純應(yīng)邀擔(dān)任主持人。
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(以下內(nèi)容根據(jù)現(xiàn)場速記內(nèi)容整理，時間緊迫，未經(jīng)主講人審核，內(nèi)容難免有誤；有些公式受編輯限制，格式可能不規(guī)范。請理解)
各位朋友，講了相對論和量子力學(xué)之后，我想說的是，要進(jìn)階講一下規(guī)范場論。但是去年透露這樣一個題目的時候，有人說不行，太難了。能說點(diǎn)簡單的嗎？
但仔細(xì)想想，其實(shí)數(shù)學(xué)物理的領(lǐng)域我們都學(xué)過了，我實(shí)在想不出哪一個簡單。如果你真的認(rèn)為很簡單，你可能會誤以為小學(xué)學(xué)的加減乘除很簡單。我負(fù)責(zé)任的告訴你，這是一場誤會。你說你學(xué)會了加法，我告訴大家沒有辦法；讓我提醒你，乘法在1844年格拉斯曼的《擴(kuò)展學(xué)習(xí)》一書中提供了16種不同的乘法。不知道有沒有很多人聽說過乘法。乘法有這么多種。所以排除加減乘除太難了。
所以，如果你想選一個簡單的一元二次方程，可以看看題目下面的外文文字——《De EQUAZIONE Algebrica Zur Eich Theorie》。前半部分是意大利語，后半部分是德語，因?yàn)橐辉畏匠毯竺姘l(fā)展的一元三次方程和一元四次方程都發(fā)生在意大利，規(guī)范場理論來自德語地區(qū)，即德國、瑞士和奧地利。我想提醒一下，在我們學(xué)習(xí)的物理學(xué)中，流體力學(xué)，規(guī)范場論等。產(chǎn)自一個很小的國家，叫做瑞士。稍后我會告訴你細(xì)節(jié)。
今天的講座，希望用2-3個小時的時間，給大家講解如何從一元二次方程到規(guī)范場論理論物理的天花板，這是你誤以為最基本的地方。我講課的這種安排確實(shí)受到了朋友們的批評，說我講課的題目特別不友好。為什么我這么不友好？我覺得是因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在處在一個科技超越神話的時代，也是一個科學(xué)已經(jīng)深入人心的時代。今天的我們，尤其是我現(xiàn)在十幾二十歲的年輕朋友們，覺得再也不能像我這一代人一樣上小學(xué)中學(xué)大學(xué)了。突然有一天，我們意識到我們什么都沒學(xué)到。這種事不能再發(fā)生了。希望我們年輕的朋友們能盡早接觸到真正的知識和淵博的知識。
我很高興看到，今天，我們國家已經(jīng)進(jìn)入了一個科學(xué)深入人心的時代。
今天一個剛開學(xué)的孩子，知道不會為了他的理科被欺負(fù)。今天，在國家發(fā)展的過程中，他甚至知道自己沒有掌握頂尖技術(shù)，也沒有掌握頂尖技術(shù)下的數(shù)學(xué)物理的高深知識，我們可能會被欺負(fù)。所以我們今天應(yīng)該好好學(xué)習(xí)科學(xué)。
說到科學(xué)，請?zhí)嵝汛蠹艺J(rèn)真對待。學(xué)習(xí)科學(xué)的細(xì)節(jié)、思想、方法和體系，如何建構(gòu)、批判和表達(dá)科學(xué)。在這個過程中，我們可能要向科學(xué)家學(xué)習(xí)。我們從科學(xué)家身上學(xué)到了什么？我們應(yīng)該學(xué)習(xí)科學(xué)家是如何學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的。說白了，今天真的要學(xué)，就應(yīng)該吃雞腿而不是雞湯。
我們都知道現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展是建立在數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)上的，我們的數(shù)學(xué)書上沒有提到。這是意大利的斐波那契數(shù)列。他是一個商人的孩子。1202年，他把印度阿拉伯人創(chuàng)造的一套字母，也就是0123456。我們現(xiàn)在都叫它阿拉伯?dāng)?shù)字。這組阿拉伯?dāng)?shù)字與西方拉丁字母和希臘字母一起構(gòu)成了今天自然科學(xué)的語言。
所以我提醒我們的中小學(xué)教育，這三種基本語言一定要教清楚。無論是被譽(yù)為人類最美公式的純數(shù)學(xué)歐拉公式，沒有之一，還是元素全部包含阿拉伯?dāng)?shù)字、拉丁字母、希臘字母的庫侖公式。這些西方科學(xué)在明清時期傳入中國，我們嘗試用中文來寫。如果你看過中文寫的矩陣群乘，你就知道了。寫了一頁，你根本不知道這個。今天，我們的人民必須有一個特別開放的心態(tài)，把人類所有的知識都當(dāng)成自己的。
我剛才說的是開始，我們很快會學(xué)到最多的。我必須提到一位非常受人尊敬的先生，他剛剛慶祝了他的一百歲生日。很多人在短視頻里說，楊先生最值得驕傲的成就是1953年獲得諾貝爾獎的宇稱不守恒，而是1954年的楊-米爾斯，第一個非阿貝爾規(guī)范場理論。這是什么意思？這個我以后再說。我想說的句子是什么？我想如果要對這些科學(xué)巨擘表示一點(diǎn)點(diǎn)真誠的敬意，請搞清楚他們都做了些什么。我相信只要你愿意，你是可以做到的。
所以今天我報(bào)告的內(nèi)容大概就是關(guān)于這些內(nèi)容。先說兩個八卦，從一元二次方程開始，然后是一元三次方程和一元四次方程。當(dāng)一元五次方程被發(fā)現(xiàn)無解時，找到無解去理解這樣一個無解會引出很多知識。
解一元三次方程時會引入虛數(shù)，也有人將其展開為復(fù)數(shù)，即二進(jìn)制數(shù)。以后有人會把它擴(kuò)展成四元數(shù)和八進(jìn)制數(shù)，這是數(shù)字系統(tǒng)的框架發(fā)展。一元五次方程解不出來得到一個知識，叫做群論。用群論，四元數(shù)，復(fù)表達(dá)式，總有一天我們會最終發(fā)展出規(guī)范場理論，說從最基本的一元二次方程到這個地方的邏輯鏈或者邏輯步驟，我給你說清楚。
總之，我們注意到，中小學(xué)老師經(jīng)常教孩子記知識點(diǎn)，但如果所有知識點(diǎn)都是零散的，是記不住的。知識就像一只蚱蜢，你得把它串起來，這樣才容易記住。有人說我沒聽懂，我也在想網(wǎng)上的朋友有時候會不會三兩句話就扭頭就走了。我想說別急，請繼續(xù)聽下去。我堅(jiān)持站著講三個小時，你就不能躺著刷三個小時手機(jī)嗎？所以請耐心等待，我不確定你是否能理解這里的內(nèi)容，但我會盡力讓你今天聽到的內(nèi)容對你有所啟發(fā)。這個講座是人類向思想家致敬的頂級旅行。不了解內(nèi)容也沒關(guān)系。
或者回答主持人提出的問題。為什么總是說些不友好的話題？為什么要講這么難的數(shù)學(xué)和物理？這是因?yàn)槲以趯W(xué)校待了將近50年，深感我們應(yīng)該學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)和物理，作為一個受人尊敬的民族，應(yīng)該盡力為人類貢獻(xiàn)一些數(shù)學(xué)和物理。關(guān)于這個問題，我們的開國領(lǐng)袖毛主席在1942年延安文藝座談會上的講話中已經(jīng)講得很清楚了，中國人民應(yīng)當(dāng)對世界文明作出自己的貢獻(xiàn)。
我個人認(rèn)為，數(shù)學(xué)和物理學(xué)的歷史主要是由一些有才華的頭腦創(chuàng)造的。中國14億人口基數(shù)，大約有2億青少年，其中一定不缺特別有天賦的青少年。我特別想提醒他們，作為一個非常聰明的少年，尤其是天才，沒有創(chuàng)造，天才是不可原諒的，所以我提醒有天賦的少年不要浪費(fèi)你的天賦。
有哪些天才？學(xué)習(xí)這個人物，比如伽利略，現(xiàn)代科學(xué)和物理學(xué)之父牛頓。大家都知道這是來自瑞士的科學(xué)大神歐拉。
關(guān)于數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該把數(shù)學(xué)學(xué)到什么程度？或者數(shù)學(xué)家是什么樣的人？數(shù)學(xué)很有趣。有一個準(zhǔn)則說，如果一個人睡著了，你上去咣當(dāng)一聲踢他，把他弄醒。問龐加萊什么是引理。如果他說不出來，那他一定不是數(shù)學(xué)家。如果他能看出來，他不一定是數(shù)學(xué)家。但這是一個必要條件，即一個人在睡夢中被踢醒，必須知道龐加萊引理是什么。
關(guān)于物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家是物理學(xué)家的語言，物理學(xué)家是用方程唱歌的人。
回頭看看我們大學(xué)學(xué)的所謂物理，其實(shí)就是用這些公式總結(jié)出來的。例如，這是簡單的牛頓第二定律。力學(xué)的下一步發(fā)展就是這個方程，叫做歐拉-拉格朗日方程，然后上升到哈密頓-雅可比方程。這個方程對它進(jìn)行變換，如果找到波動解，就得到量子力學(xué)方程。這是電磁方程式。電磁學(xué)和量子力學(xué)的結(jié)合，將來會產(chǎn)生電動力學(xué)。這是第一次工業(yè)革命最根本的公式，被稱為熱力學(xué)主方程。只有理解了這樣一個公式，才能理解人類的第一次工業(yè)革命。
從一元二次方程到規(guī)范場論，如果你沒有耐心聽，看看這張圖就明白它說的是什么了。
從一元二次方程到二次方程、三次方程、五次方程。這是方程的解。解三次方程，就解不出來了。它會讓你不得不引入虛數(shù)和復(fù)數(shù)，然后你就有了復(fù)變函數(shù)。然后是四元數(shù)和八進(jìn)制數(shù)，這是數(shù)學(xué)的發(fā)展。如果五次方程不可解，將得到群論。當(dāng)這些數(shù)學(xué)準(zhǔn)備好了，學(xué)物理就容易了。所謂量子力學(xué)會用到群論和四元數(shù)，電動力學(xué)會用到矢量分析和四元數(shù)。
這里有個東西叫微分幾何。學(xué)好微分幾何和群論后，學(xué)相對論就容易了。學(xué)完群論，微分幾何，電動力學(xué)，量子力學(xué)，就可以學(xué)習(xí)規(guī)范場論了。中間的邏輯關(guān)系非常清晰。我再強(qiáng)調(diào)一下，我們在大學(xué)讀研究生的時候之所以看不懂這些課程，是因?yàn)樗麤]有教相應(yīng)的數(shù)學(xué)和物理基礎(chǔ)。我們的教材有一個特別不好的印象，給人一種誤解，以為那個科目只是這些書的內(nèi)容，其實(shí)不是。
一元二次方程概述
從一元二次方程到規(guī)范場論有哪些內(nèi)容？大家都很熟悉一元二次方程。實(shí)際上是一個如何把兩個平方項(xiàng)和一次項(xiàng)湊在一起，以及如何把二次項(xiàng)和一次項(xiàng)相加的問題，所以最難理解的問題就是加法?，F(xiàn)在你知道了，加起來并不容易。接下來，當(dāng)有復(fù)數(shù)的時候，你會發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)不僅僅是我們學(xué)的一個bi，還有七八種不同的復(fù)數(shù)表示。這些表示，包括四元數(shù)，有不同的表示，算法和表示就出來了。
當(dāng)我們用群的語言來討論一個代數(shù)方程為什么不可解的時候，這個地方就涉及到結(jié)構(gòu)和表示。當(dāng)我們研究規(guī)范場理論的時候，發(fā)現(xiàn)只是微分二次型和線性型，和一元二次方程怎么解是一個東西，結(jié)構(gòu)是一樣的。這表明我們應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，而不是在課堂上做一些事情。你需要學(xué)習(xí)最重要的規(guī)則、結(jié)構(gòu)和表示，這是數(shù)學(xué)最強(qiáng)大的部分。
今天學(xué)習(xí)兩個關(guān)鍵詞:
第一個詞叫替代，可能比較簡單。如果你喜歡打牌，你可以把一只手換成另一種玩法，這叫換人。替換是今天的主題。比如這是123456。如果把1換成4，2換成3，3換成2，4換成5……就可以得到123456的另一種排列，很好理解。
第二個就是要學(xué)會交替，這一點(diǎn)尤為重要。這是三維空房間內(nèi)部的多邊形。關(guān)于多邊形有一個歐拉定理。頂點(diǎn)數(shù)V減去邊數(shù)E，加上上面的數(shù)F，減去物體數(shù)S，物體數(shù)S永遠(yuǎn)等于1，所以這個公式應(yīng)該是V-E F=2。其實(shí)我寫的是V-E F-S=1。
看看這個地方。不是負(fù)號也不是正號。只是增加了一個負(fù)面的東西。前面的符號是加法和減法總是交替出現(xiàn)。交替這個東西很重要，這個地方是一個幾何物體。幾何對象沒有頂點(diǎn)數(shù)減去邊數(shù)。這個負(fù)號告訴你幾何對象有方向。想想吧。如果你在小公園里走一圈，你就會知道這條路是有方向的。你可以順時針或逆時針走。學(xué)幾何的時候，幾何從來沒有教過你幾何是有方向的。
當(dāng)我們明白了這個道理，我們現(xiàn)在就開始學(xué)習(xí)方程。很多人認(rèn)為會。讓我們看看它將走向何方。一元二次方程一般寫成ax bx c=0，其中a，b，c可以是整數(shù)。如果不要求a，b，c都是整數(shù)，那么實(shí)際上應(yīng)該是這樣一個方程，其中x bx c=0，也就是說只有b，c兩個參數(shù)。
老師教你匹配正方形可以得到兩個根:
b-4c項(xiàng)是在根號下得到的。如果b-4c大于0，開根號，得到兩個根；如果b-4c小于0，我們稱方程無解，也就是不合理，或者說不知道怎么辦。這時候很多人會誤以為b-4c根是負(fù)數(shù)，可以用:
我們中學(xué)學(xué)的，老師教的。我想說的是你想多了。當(dāng)人們解一元二次方程時，根號是負(fù)的。因?yàn)樗麄儾恢?，不知道哪個數(shù)的平方等于負(fù)，所以直接采取無解是最合理的方式。
你會注意到這個地方的什么？注意這個地方有b-4c，是判別式的。到底是什么意思？具體方程我們不了解，想把方程的兩個根X表示為x x和(x x)-4 xx。這是什么意思？在解這個之前，大家一定覺得這個方程太簡單了，老師已經(jīng)給出了解法。
現(xiàn)在，我告訴你，事情沒那么簡單。你們不僅沒有學(xué)過這個方程的一般理論，一元二次方程，而且還挑了一些特殊的例子。這些數(shù)學(xué)你可能一個都沒學(xué)過。解方程x-x-1=0，這個方程的根等于:
這個數(shù)就是黃金分割數(shù)，與10轉(zhuǎn)有關(guān)。
X-2x-1，它的根:
這是白銀分割數(shù)，和8轉(zhuǎn)有關(guān)。而x-4x 1=0，它的根:
是白金數(shù)，和12轉(zhuǎn)有關(guān)。而在人類生活的三維物理空中準(zhǔn)晶的允許轉(zhuǎn)動是18或12次。
隨便挑個黃金分割號能有多少內(nèi)容？我知道至少有三個關(guān)于黃金分割數(shù)的專業(yè)雜志，還有三個關(guān)于這個數(shù)的專門數(shù)學(xué)雜志。最早的《斐波那契季刊》刊登了關(guān)于黃金分割數(shù)的內(nèi)容，至今已有一百多年的歷史。請?jiān)倏紤]一下。你敢說你會嗎？這本雜志你看不到任何一頁，但它只是一個關(guān)于一元特殊二次方程的一個根的故事。
現(xiàn)在深入研究一元二次方程，把一元二次方程改成x-bx c=0。為什么要這樣改？這是因?yàn)閤，b，c都可以理解為長度，所以方程可以用幾何方法來研究。
我們用幾何法研究方程如上圖所示，做一個直徑是b的圓，從底下點(diǎn)A做一個切線段，切線段長度是c，如果b-4c