博弈論案例分析(基本概念講解和具體案例分析)

博弈論，又稱博弈理論或?qū)Σ呃碚?，是研究具有斗爭或競爭性質(zhì)的現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法?？紤]博弈論中個體的預(yù)測行為和實際行為，研究其優(yōu)化策略。從表面上看，不同的互動可能表現(xiàn)出相似的激勵結(jié)構(gòu)，所以是同一博弈的特例。其中一個著名而有趣的應(yīng)用例子是囚徒困境。

競爭性或?qū)剐缘男袨榉Q為博弈行為。在這種行為中，參與斗爭或競爭的各方有不同的目標或利益。為了實現(xiàn)各自的目標和利益，各方都必須考慮對手所有可能的行動方案，盡量選擇對自己最有利或最合理的方案。博弈論是研究博弈各方之間是否存在最合理的行為計劃，以及如何尋找這種合理的行為計劃的數(shù)學(xué)理論和方法。

起源概述

約翰·馮·諾依曼是一個超級跨界者——他在數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟學(xué)、計算機等多個領(lǐng)域做出了劃時代的貢獻，留下了很多以他名字命名的東西。比如程序員應(yīng)該都聽說過馮諾依曼系統(tǒng)，比如數(shù)學(xué)上的馮諾依曼代數(shù)和馮諾依曼遍歷定理，理論物理上的馮諾依曼量子測量和馮諾依曼遍歷定理。還有很多其他的東西，雖然沒有以他的名字命名，但都是他首先研究出來的，比如:量子力學(xué)的公理化表達，希爾伯特第五問題，連續(xù)幾何(空之間的維數(shù)不是整數(shù))，蒙特卡羅方法，以及歸并排序算法。1944年與奧斯卡·摩根斯坦合作出版了《博弈論與經(jīng)濟行為》，一舉奠定了博弈論體系的基礎(chǔ)，因此也被稱為博弈論。

游戲類型

合作博弈與非合作博弈

無論是合作博弈還是非合作博弈，在博弈的過程中都可能出現(xiàn)合作的現(xiàn)象。不同的是，對于合作博弈來說，存在著某種外部約束力，這樣背叛就會受到這種外部約束力的懲罰。對于非合作博弈，沒有這樣的外部約束力，對背叛的懲罰只能依靠博弈過程中的其他參與者。通常，博弈指的是非合作博弈。

同時博弈和順序博弈

同時，博弈有時也被稱為靜態(tài)博弈，是指博弈中的任何參與者在選擇自己的行為之前，并不知道其他參與者的行為信息。順序博弈有時被稱為動態(tài)博弈。在這種游戲中，參與者的動作是按時間順序的，后面執(zhí)行動作的玩家可以看到其他玩家前面的動作，然后根據(jù)別人的動作思考自己的行為。

零和博弈與非零和博弈

零和游戲這個名字有誤導(dǎo)性，讓很多人以為各方收益之和為零。零和博弈是指博弈結(jié)束后，參與各方的利益總和是不變的(可以是零，可以是正的，也可以是負的)。非零和博弈是指博弈結(jié)束后，參與各方的利益總和是可變的。因此，這種游戲有時被稱為和游戲。對于這種博弈，在某些情況下，參與各方的利益總和可能會增加，從而使各方合作成為可能。

非重復(fù)博弈和重復(fù)博弈

非重復(fù)博弈有時也叫單博弈；相應(yīng)地，重復(fù)博弈也稱為多重博弈。重復(fù)博弈可以進一步細分為有限重復(fù)博弈和無限重復(fù)博弈。更嚴格的說是:有限重復(fù)的博弈——確定重復(fù)的博弈，無限重復(fù)的博弈——不確定重復(fù)的博弈。

游戲策略

收入矩陣和決策樹

這兩個概念意在更直觀的描述游戲過程，幫助你看清各方的優(yōu)劣。支付矩陣通常用來描述靜態(tài)博弈(同時博弈)，一般用來描述兩個參與者的靜態(tài)博弈。多人的靜態(tài)博弈也可以用收益矩陣來表示，但是畫出來會復(fù)雜很多。由于動態(tài)博弈(序貫博弈)比較復(fù)雜，通常不用“回報矩陣”來描述。決策樹可以用來描述靜態(tài)和動態(tài)博弈。

策略和策略集合

以象棋為例。完成一個游戲需要很多步驟。對于每一步，您都有多個決策選項(拿哪一塊，去哪里)。而策略指的是——從第一步到最后一步所有決策選項的總和。你可以通俗地把策略理解為某種算法指導(dǎo)思想，指導(dǎo)你從第一步走到最后一步。所有可能的策略構(gòu)成一組策略。

有限策略集和無限策略集

石頭剪子布是典型的有限策略集，只有三個元素。為了說明無限策略集，我們舉一個分蛋糕游戲的例子，一個人把蛋糕隨機分成兩塊，然后另一個人先選擇其中一個。對于蛋糕分享的負責人來說，策略集是無限的。很多人直觀地認為，策略集無限的博弈比策略集有限的博弈復(fù)雜。其實圍棋雖然很復(fù)雜，但是它的策略集還是有限的。相比之下，分享蛋糕的游戲比圍棋簡單得多，但分享蛋糕的游戲有無限多的策略。

純策略和混合策略

在實際博弈中，如果你總是在策略集合中選擇某一個策略，這種情況叫做純策略。如果你在博弈過程中總是隨機選擇策略集中的一些策略，這種情況叫做混合策略。如果一個混合策略包含策略集中的所有元素，則稱之為完全混合策略。

優(yōu)策略

假設(shè)你有兩個策略A&B，在任何情況下，如果A優(yōu)于B，就叫A優(yōu)于B或者B被A優(yōu)，優(yōu)策略也叫優(yōu)策略。如果一個策略可以支配所有其他策略，那么它就是一個支配策略。通俗地說，無論對手采取什么策略，你的優(yōu)勢策略總是比你的其他策略有更好的結(jié)果。有時優(yōu)勢策略會進一步細分為強優(yōu)勢和弱優(yōu)勢。對于前者，無論如何都比其他策略好；對于后者，它在某些情況下優(yōu)于其他策略，在某些情況下與其他策略一樣好。勝利策略，也稱制勝策略，通常只在零和游戲中使用，意思是只要你采取這種策略，無論對方如何應(yīng)對，你總是贏。制勝策略肯定是占優(yōu)策略；但是優(yōu)勢策略不一定是獲勝策略。

極大極小定理

比較的說法是最大損失最小化，比較通俗的說法是最壞情況下?lián)p失最小化。這個定理和算法最早是由馮·諾依曼在《博弈論與經(jīng)濟行為》一書中提出的。

逆向歸納法&這種方法的概念

它的本質(zhì)是向前看和向后推理。首先，你需要思考你的每一個決定，以及對方在處理你的決定時會采取什么樣的決定。這個思維過程類似于決策樹的擴展，這個擴展過程要一直推演到最后一步，也就是決策樹的葉節(jié)點。至此，你可以看到最后一步雙方的最優(yōu)選擇；然后反推回第一步。當你想用逆向歸納法進行預(yù)測和推理時，前提是——你要獲得充分的信息；換句話說，如果一個玩家沒有掌握足夠的信息，他就不能使用這種方法。

盜版游戲

問題描述

五個海盜搶了100個金幣，商量如何分贓。這五個海賊等級不同(假設(shè)A > B > C > D > E)。首先由等級最高的海盜提出分贓方案，然后進行投票。超過半數(shù)(含半數(shù))同意的，按此方案劃分，游戲結(jié)束；如果贊成的不到一半，就把提出方案的海盜扔到海里喂鯊魚，然后下一級的海盜再提出新的方案；諸如此類。每一個海賊的特點是:足夠理性(追求個人利益最大化)，知道別人足夠理性；足夠殘酷(當個人利益相等時，他們傾向于把更多的同伴扔進海里)。

戰(zhàn)略分析

為了逆向推理，假設(shè)最后只剩下兩個海盜(D&E)。這時候必須投過半數(shù)的票(D肯定投了他的方案)。在這種情況下，D可以采取最極端的方案——他可以得到全部100個金幣，而E一個也拿不到。

現(xiàn)在后退一步。當只剩下三個海盜(C，D，E)時，C提出一個計劃。他只需要給e 1個金幣，E就會投贊成票(否則D提出提案時E什么也得不到)。所以在C的計劃中，他自己拿99個金幣，E拿1個金幣。

再向前一步。只剩下四個海盜(B，C，D，E)。如果B提出一個方案，他當然能想到剛才那些推論。他只要給D 1金幣，D就會支持他(如果C想出方案，D什么也得不到)。所以B提出的方案是B: 99，C: 0，D: 1，E: 0，也能得到一半的支持。

基于以上分析，再看A的方案，就很明顯了——A:98，B: 0，C: 1，D: 0，e。

納什均衡

1951年，美國數(shù)學(xué)家納什發(fā)表了一篇名為《非合作博弈》的小論文，他在論文中提出了納什均衡的概念，并基于不動點定理給出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)證明。通俗地說，就是在多人非合作博弈中，如果每個人都不能單方面改善自己的處境，此時的處境就叫做納什均衡。馮·諾依曼在《博弈論與經(jīng)濟行為》一書中已經(jīng)證明，零和博弈中必然存在這樣一個均衡點。納什的貢獻在于他從零和博弈提升到非零和博弈，并證明了這樣的均衡點依然存在。當博弈情況處于納什均衡時，此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果每個玩家都足夠理性，他們不愿意改變當前的策略。

心理因素

換位考慮

前面提到的很多游戲相關(guān)的技能，都是靠同理心的能力。你需要站在對手的角度思考，才能看清形勢，更好地選擇自己的策略。一般來說，共情能力越強，批判性思維能力越強。

理性人假設(shè)

微觀經(jīng)濟學(xué)在進行數(shù)學(xué)建模時，通常會引入一個理性人假設(shè)，假設(shè)市場的行為主體是完全理性的，這里的完全理性也意味著掌握了充分的信息。這個假設(shè)是為了數(shù)學(xué)建模的需要而引入的。任何一個國家的大多數(shù)人都很平庸，他們的一個共同點就是非常不理智。理性的、擁有充分信息的個體是絕對罕見的，理性的人假設(shè)所有設(shè)定市場的行為者都是完全理性的。有了博弈論，這種荒謬的理性人假設(shè)就可以扔進垃圾桶了。

舊的經(jīng)濟理論(理性人的解釋)會說——所有公司的老板都是完全理性的，有充分的信息知道應(yīng)該生產(chǎn)什么樣的商品才能滿足市場需求。新經(jīng)濟理論(博弈論的解釋)會說公司的老板既優(yōu)秀又平庸。平庸的公司生產(chǎn)的商品沒人要，自然會虧損破產(chǎn)。隨著時間的推移，經(jīng)過自然選擇，幸存下來的公司當然是那些聰明的公司。

假裝瘋了

理性玩家把自己偽裝成非理性玩家，可以達到一些虛張聲勢的效果。對這種戰(zhàn)術(shù)，我稱之為裝瘋策略。

影響范圍

經(jīng)濟學(xué)

要說博弈論的影響，當然首先要說它對經(jīng)濟學(xué)的影響。有了博弈論，就不需要胡說八道的理性人假設(shè)。這是博弈論誕生后對微觀經(jīng)濟學(xué)的一個很大的影響，還有很多其他的影響。比如，在博弈論誕生之前，傳統(tǒng)微觀經(jīng)濟學(xué)建立了由供求關(guān)系決定價格的數(shù)學(xué)模型。這個模型只考慮了供求關(guān)系的變化對價格的影響，而完全沒有考慮供需雙方的力量對比。如果其中一個供應(yīng)商變強或者另一個變?nèi)?。即使供求保持不變，價格也會發(fā)生變化，朝著有利于強勢一方的方向移動。

生物

生物學(xué)中受博弈論影響最大的分支是進化生物學(xué)，即進化論。借助博弈論的研究成果，進化生物學(xué)家可以更好地建立物種進化的數(shù)學(xué)模型。